Área da coroa circular

     Dadas duas circunferência concêntricas com raios R e r, sendo R>r, chama-se coroa circular o conjunto dos pontos internos à circunferência de raio R e externos à de raio r, reunidos com os pontos das duas circunferências.
     A área da coroa é igual à diferença entre as áreas dos círculos de raios R e r.
                                                               A = πR² – πr² 


Calcule a área da região colorida em verde.
Resposta: 16π (Para π=3,14, temos aproximadamente 50,24 cm²).

FUNÇÃO DO 1º GRAU

   A conta mensal de um telefone é composta de duas partes: uma taxa fixa de R$ 30,00 e mais uma parte variável que é de R$ 0,25 por minuto de ligação efetuada no mês. Assim. para x minutos de ligação, paga-se (0,25x) reais mais a taxa fixa de 30 reais. O valor y a pagar é dado por: y = 0,25x + 30
     O valor da conta, y, é função do tempo gasto em ligações, x.
     A tabela abaixo, mostra alguns valores possíveis para a conta.

     No gráfico estão representados os pares da tabela. (Mova o ponto vermelho, e observe os valores da tabela).

   
     Outra situação:
     O preço de uma corrida de táxi é composto de um valor fixo somado a outro que varia de acordo com a distância percorrida.
     Supondo que o valor fixo (conhecido como bandeirada) seja R$ 3,40 e que o valor cobrado por quilômetro percorrido seja R$ 0,40, quanto um passageiro pagará por uma corrida de 12 quilômetros?
     Quantos quilômetros um passageiro percorreu se o preço da corrida foi R$ 11,40?
     Primeiro temos que escrever a lei de formação ou fórmula matemática da função que relaciona o preço y à pagar com a distância percorrida x:
                                                          y = 0,40x + 3,40
     Para responder à primeira questão acima, substituímos x por 12, y = 0,40 . 12 + 3,40 <=> y=8,20.
     Então, o passageiro pagará R$ 8,20
     Para responder à segunda questão, substituímos y por R$ 11,40.
     11,40 = 0,40x + 3,40 <=> x = 20
     Então, o passageiro percorreu 20 quilômetros.
     Essa situação da corrida do táxi apresenta uma função cuja lei y = 0,40x + 3,40 é do tipo y = ax + b, em que a e b são números reais.
     Ela tem as mesmas características de uma função que chamamos de função afim.
     Observações:
     Quando a é diferente de zero, a função de lei f(x) = ax + b é chamada função polinomial do 1º grau. Por exemplo: f(x) = 2x + 5.


     FUNÇÃO DO 1º GRAU
     Uma função definida para todo x real por uma fórmula do tipo y = ax + b, em que a e b são números reais conhecidos e a é diferente de zero, é denominada função do 1º grau.
     O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta.
    
     O significado do coeficiente b
     Na função y = ax + b, b é o valor de y correspondente a x = 0.
     Na função y = ax + b, b é a ordenada do ponto em que o gráfico corta o eixo y, e b também é chamado de coeficiente linear da reta.


      O significado do coeficiente a
      O coeficiente a é a taxa de variação da função y= ax + b. Ele representa a quantidade de unidades que são adicionadas a y quando adicionamos uma unidade a x, qualquer que seja x.
Por exemplo, no pagamento de uma conta telefônica, “pagamos” um valor fixo e mais o tempo de ligação. Se no caso “falarmos” 1 minuto, uma operadora cobra atualmente, R$ 0,56; que será o acréscimo à taxa fixa, logo a taxa de variação da conta é de R$ 0,56 por minuto de ligação efetuada.
     Graficamente temos:

Atividade:
Represente o gráfico da função y=x-2.
     Para construir o gráfico de uma função, que é uma reta. Basta marcar alguns pontos (dois são suficientes) e traçar a reta que passa por eles.
Para auxiliar vamos construir uma tabela.

Logo, utilizando o sistema de coordenadas cartesianas, temos:

FUNÇÃO LINEAR: INVERSAMENTE PROPORCIONAL

   Um bolo  de 1 kg será dividido igualmente entre os alunos de uma classe. A massa da fatia que cada aluno vai ganhar é função do número de alunos da classe.

Faça a correspondência com os elementos da tabela, com o gráfico abaixo:

(Mova o ponto M, e observe que a medida que diminui a massa do bolo (eixo y); aumenta o número de alunos da classe (eixo x)).

     Se numa correspondência entre duas grandezas x e y, quando x é multiplicado por um número, y fica dividido por esse número, dizemos que y é inversamente proporcional a x, ou seja, y é inversamente proporcional a x quando o produto xy é constante.

     Qual é a fórmula da massa y, em gramas, de cada fatia em função do número x de alunos?
     Logo a fórmula da massa y = 1000 : x, pois 1000 representa a massa do bolo, que será repartida por x alunos.
     Observamos que a função é inversamente proporcional, pois o valor de y (massa do bolo) diminui, à medida que o número de alunos aumenta.

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

     Resolução pelo método da balança
     O dobro de um número, mais 5 unidades é igual a 27. Qual é o número?
2x ——> o dobro de um número
+5——-> mais cinco unidades
=——–> é igual a vinte e sete.
                       2.x + 5 = 27
                       2x +5 -5 = 27 – 5   —> adicionamos – 5 aos dois lados da igualdade e efetuamos as operações.
                       2x = 22  —————-> resultado após a subtração.
                       2x/2 = 22/2 ————> dividimos por 2, os dois lados da igualdade, eliminarmos o 2 do lado esquerdo da igualdade.
                       x = 11
Logo o número procurado é 11.


Resolução pelo método da balança, com o auxílio da animação abaixo.
(Cuidado: não confundir equação com função!)
Exemplo:
1) Clique + e digite: 6
2) Clique em – e digite: 2x
3) Clique em : e digite: 3, logo x= – 4
Faça as outras atividades

Disponível em: http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/atividades_diversas/maquina/arvore.htm

Construção do gráfico de uma equação  do 1º grau, utilizando um programa digital

Tutorial completo, sobre o uso da chamada máquina algébrica disponível em:

http://www6.ufrgs.br/espmat/disciplinas/novas_abordagens/modulo_I/sequencia_Ig.htm

FUNÇÃO CONSTANTE

Uma função em que todo número real x corresponde um número c é chamada função constante. A fórmula da função constante é y = c ou f(x) = c.

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas.

FUNÇÃO DECRESCENTE

     Dizemos que uma função é decrescente quando, aumentando x, y diminui. Nesse caso, quanto maior for x, menor será y.

FUNÇÃO CRESCENTE

     Dizemos que uma função é crescente quando, aumentando os valores de x, em correspondência aumentam os valores de y. Nesse caso, quanto maior for x, maior será y.

FUNÇÃO LINEAR

Uma função do tipo y = ax, a ≠ 0, é denominada função linear. Numa função linear, y é proporcional a x. A razão entre y e x é a constante a.
MOVA O PONTO


     O gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem (0,0) do sistema de coordenadas.
Exemplo:
     Numa circunferência, a cada ângulo central α, 0º ≤  α  ≤ 180º, corresponde uma corda AD. O tamanho da corda é função da medida do ângulo.
a) Essa função é crescente? Por quê?
b) O tamanho da corda é proporcional à medida do ângulo? Por quê?
Mova o ponto D.

PRODUTOS NOTÁVEIS

São produtos de expressões algébricas que aparecem com muita frequência no cálculo algébrico.

Quadrado da soma de dois termos.

Pela propriedade distributiva da multiplicação, temos:

Mais um exemplo:
        (2a + 4b²)² = (2a)² + 2.2a.4b² + (4b²)² = 4a² + 16ab² + 16b⁴

Regra prática: “Quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.”


                                                          Interpretação geométrica

Clique para ampliar

Quadrado da diferença de dois termos.

     Observe que também, para o quadrado da diferença de dois termos algébricos, utilizamos a propriedade distributiva da multiplicação.

Regra prática: “Quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro pelo segundo termos, mais o quadrado do segundo termo.”

Mais um exemplo:
      (3x – 7y)² = (3x)² – 2.3x.7y + (7y)² = 9x² – 42xy + 49y²

Produto da soma pela diferença de dois termos.

Pela propriedade distributiva da multiplicação, temos:

Regra prática: “Quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.”

Mais um exemplo:

     (5x² + 3xy)(5x² – 3xy ) = (5x²)² – (3xy)² = 25x⁴ – 9x²y²

Interpretação geométrica

                 

                                                    

Cubo da soma de dois termos.

Regra prática: “Cubo do primeiro termo, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo termo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo.”

Mais um exemplo:
     (2x + z)³ = (2x)³ + 3. (2x)² . z + 3 . 2x . z² + (z)³ = 8x³ + 3. 4x² .z + 3. 2x . z² + z³ = 
                                                                                 = 8x³ + 12x²z + 6xz² + z³  

Cubo da diferença de dois termos.

Regra prática: “Cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.”

Mais um exemplo:
     (2x – z)³ = (2x)³ – 3. (2x)² . z + 3 . 2x . z² – (z)³ = 8x³ – 3. 4x² .z + 3. 2x . z² – z³ = 
                                                                                 = 8x³ – 12x²z + 6xz² – z³  

O triângulo isósceles

     O triângulo DCB, é isósceles, pois possui dois lados de mesma medida: CD e DB.
– Os ângulos DĈB e DBC são os ângulos da base.
– Os ângulos da base são congruentes.
– Altura de um triângulo isósceles, é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prologamento, traçado pelo vértice oposto. Este lado é chamado base da altura.

– CDB é o ângulo do vértice.
– O ponto de intersecção das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro.

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