Triângulo retângulo

Elementos do triângulo retângulo
(Mova os pontos).
     O triângulo retângulo em Geometria, é um triângulo que possui um ângulo reto e outros dois outros ângulos agudos.

Observe na animação, que movimentando o ponto D, formarmos uma semicircunferência, onde ângulo reto não se altera.

    É uma figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas, volumes e cálculo algébrico.

Área do triângulo retângulo
     A área de um triângulo retângulo é dada pela metade do produto dos menores lados.

Na trigonometria
     A relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo, é a base da trigonometria.

Medidas de lados e ângulos
     Sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos.

Semelhança de triângulos

Para determinar a medida de um lago, foi utilizado o esquema representado pela figura abaixo. Qual é a largura do lago?

Observe que o segmento AB, divide o triângulo CPD em dois, logo o triângulo CPD é semelhante ao triângulo APB, então:

Logo, a largura do lago é igual à 250 metros.

Semelhança de triângulos

     Dois triângulos são semelhantes se, e somente se,  os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.

     A razão entre os lados correspondentes é chamada de razão de semelhança.

  Propriedades da semelhança

Propriedade reflexiva
     Todo triângulo é semelhante a si mesmo.
                            ∆ABC ~ ∆ABC
Propriedade simétrica
     Se um triângulo é semelhante a outro, então esse outro é semelhante ao primeiro.
                           ∆ABC ~ ∆XYZ ⇒∆XYZ~ ∆ABC
Propriedade transitiva
     Se um triângulo é semelhante a outro e esse outro é semelhante a um terceiro triângulo, então o primeiro é semelhante ao terceiro.
                           ∆ABC ~ ∆XYZ e ∆XYZ~ ∆RST ⇒ ∆ABC ~ ∆RST

Medindo objetos através da semelhança de triângulos

Propriedade fundamental da semelhança
Movimente os vértices  e observe o efeito.

Enunciado: “Se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo, então  ele é paralelo ao terceiro lado e tem metade do comprimento do terceiro lado.”

  

Teorema fundamental da semelhança de triângulos

     Toda reta que é paralela a um lado de um triângulo e intercepta os outros dois lados em dois pontos distintos determina com esses lados um segundo triângulo semelhante ao primeiro.

Congruência de triângulos

Critérios de congruência de triângulos
     Diz-se que duas figuras são congruentes quando, além da mesma forma, ambas tenham o mesmo tamanho.

1) LLL (lado, lado, lado)
     Dois triângulos são congruentes quando possuem os três lados respectivamente congruentes.

2) LAL (lado, ângulo, lado)
     Dois triângulos são congruentes quando possuem dois lados e o ângulo entre eles, respectivamente congruentes.

3) ALA (ângulo, lado, ângulo)
     Dois triângulos são congruentes quando possuem dois ângulos e o lado entre eles, respectivamente congruentes.

4) LAAo (Lado, ângulo, ângulo oposto)
    Dois ângulos são congruentes quando possuem um lado, um ângulo e o ângulo oposto a esse mesmo lado, respectivamente congruentes.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.5 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)