Inequações do 2º grau

Inequações do 2º grau são:
ax² + bx + c > 0; ax²+bx + c < 0; ax² + bx + c ≥ 0; ax² + bx + c ≤ 0
Em que a, b e c são números reais conhecidos, a ≠0, e x é a incógnita.
Análise de sinais
Para analisarmos os sinais das funções que aparecem no primeiro membro, o segundo membro  deve ser 0.
Exemplo: x² – 4x + 3 > 0
Devemos descobrir os valores de x para os quais f(x) = x² -4x +3 é positiva.
Temos: a= 1, b= -4, c= 3 (por Bhaskara)
zeros: x= 3 ou x = 1
Concavidade: a= 1 => a>0 => para cima
Esboço do gráfico:

     A função f é positiva para x<1 ou x> 3.

     Logo, as soluções da inequação são os números menores que 1 ou maiores que 3:

                                             V = {x ∈ℝ| x < 1 ou x > 3}

Aplicações:

Para promover a viagem de formatura das 8ª séries, a Teen-Tur vai receber de cada um dos x alunos que participarem a quantia de (180 – 0,6x) reais. Mas há uma condição: ela só aceita se arrecadar pelo menos R$ 12.960,00. Quantos alunos precisam participar?

R: 180x – 0,6x² ≥ 12960 → -0,6x² + 180x – 12960 ≥0 → f(x) = -0,6x² + 180x – 12960

-0,6x² + 180x – 12960 = 0 → Por Bhaskara, as raízes são 120 e 180, logo o número de

alunos que devem participar esta entre 120 e 180 alunos.

Inequações do 1º grau

     Com os 100 metros de tela plástica que compraram na cidade, Milton e Roberta querem construir um viveiro de peixes dentro do laguinho do seu sítio, aproveitando sua parte mais funda, que é uma espécie de corredor retangular de 5 metros de largura.
     Mas se a largura do retângulo já está decidida, o mesmo não acontece com o comprimento.
     Milton não quer usar todos os 100 metros de tela no cercado, porque acha melhor deixar uma parte para a eventualidade de precisar fazer um remendo.
     
     Uma vez que o perímetro do retângulo que será o viveiro não pode ultrapassar 100 metros, podemos escrever a seguinte sentença matemática: 10 + 2x < 100 (aqui esta uma inequação).
     Uma inequação é uma sentença aberta, traduzida por um sinal de desigualdade. 

Exemplos de inequações:

DESIGUALDADES
Desigualdade é uma sentença matemática numérica em que aparece um dos sinais:

Se a desigualdade contiver uma incógnita, será chamada de inequação.

A desigualdade 10 + 2x < 100, é um exemplo de inequação cuja incógnita é x.

PROPRIEDADES DAS DESIGUALDADES

    Observando a tabela, concluímos que:
    1) Em uma desigualdade, podemos adicionar um mesmo número aos dois membros que o sinal da desigualdade permanece o mesmo.
    2) Em uma desigualdade, se multiplicarmos os dois membros por um mesmo número não-nulo, podem ocorrer coisas diferentes: se esse número for positivo, o sinal da desigualdade se manterá; se o número for negativo, o sinal da desigualdade se inverterá.

Resolução de inequações do 1º grau
Resolver uma inequação significa encontrar sua solução.
Exemplos:
Que números inteiros são soluções da inequação x + 6 > 2?
x + 6 > 2
x + 6 + (-6) > 2 + (-6) (adicionamos – 6 aos dois membros)
x > – 4
Então, os números inteiros que são soluções da inequação x + 6 > 2 devem ser maiores que -4:
                            -3, -2, -1, 0 , 2 , 3,…
Podemos representar a solução da inequação na reta numérica.

Intervalos
     São partes da reta real que representam conjuntos de números maiores ou menores do que algum deles.
     Exemplos de intervalos e a sentença matemática correspondente:

Intervalos abertos

     Os intervalos vistos acima, são chamados intervalos abertos, porque em nenhum deles foi permitido incluir o número real tomado como base, apenas os maiores (>) ou os menores (<) do que ele.

Intervalos fechados

     Um intervalo será chamado intervalo fechado em um número quando esse número fizer parte do intervalo, isto é, quando estivermos representando os número os números maiores ou iguais (≥) a ele ou também menores ou iguais (≤) a ele. Veja alguns intervalos de números reais e a sentença matemática correspondente: