Sistemas lineares
Método da adição
Modelo da animação abaixo:
x + y = 14
4x+2y = 48
Mova os pontos, para modificar o modelo e obter outras soluções:
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Adição
Equações lineares
Exemplos:
– 3x + 2y = 7 é uma equação linear nas incógnitas x e y;
– 2x + 3y – 2z = 10 é uma equação linear nas incógnitas x, y e z;
– x – 5y +z – 4t = 0 é uma equação linear nas incógnitas x, y, z, e t.
Forma geral:
a1x1 + a2x2+a3x3 +…+anxx = b, na qual:
Exemplos:
Verifique se o terno: (1, 3, 2) é uma solução da equação linear 2x + y + 5z = 15
Solução: 2 . 1 + 3 + 5 . 2 = 15 -> 2 + 3 + 10 = 15 -> 15 = 15.
Conclusão: vemos que o terno (1, 3, 2) é solução da equação linear.
Resolução gráfica de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas
a) x + y = 3
x + y = 0
b) x – y = -3
3x+2y=16
c) x+2y=1
2x+4y=2
Quando as retas que representam as soluções das equações são:
– concorrentes, o sistema tem uma única solução.
– paralelas, o sistema não tem solução.
– coincidentes, o sistema tem infinitas soluções.
Sistemas lineares
Em uma partida de basquete, dois jogadores marcaram juntos 42 pontos. Quantos pontos marcou cada um?
Resolução:
Sendo x e y, respectivamente, o número de pontos que cada jogador marcou, temos uma equação com duas incógnitas: x + y = 42
Observe:
– se x = 21, então 21 + y = 42 => y = 21
– se x = 30, então 30 + y = 42 => y = 12.
– se x = 16, então 16 + y = 42 => y = 26.
Na verdade essa equação admite várias soluções: x pode assumir um valor qualquer natural de 0 a 42, e y será igual à diferente entre 42 e o valor atribuído a x.
Verificamos ainda que os dados do problema não são suficientes para determinar o número de pontos marcados por cada jogador.
Sistemas de equações lineares
Resolução de sistemas lineares 2 x 2, em |R X |R.
Métodos de resolução de equações do 1º grau
Oito alunos da 7ª série formaram um grupo de estudo. O número de moças é igual ao triplo do número de rapazes. Quantas moças e quantos rapazes há nesse grupo?
Nomeando
x: número de moças.
y: número de rapazes.
Oito alunos (moças e rapazes), formam um grupo de estudos: x + y = 8
O número de moças (x), é igual ao triplo do número de rapazes(y): x = 3y
Essas duas equações formam um sistema de equações.
As incógnitas são x e y.
Resolução
Se x=3y, podemos substituir x por 3y na primeira equação.
3y + y = 8, logo: 4y = 8 –> 4y/4 = 8/4 –> y = 2
Logo valor de y (número de rapazes) é igual 2.
A seguir resta calcular o número x (número de moças).
Substituindo o valor de y (2), na primeira equação temos:
x + 2 = 8
x +2 – 2 = 8 -2
x = 6
A solução desse sistema de equações é x = 6 e y =2.
O grupo de estudos é formado por 6 moças e 2 rapazes.
Resolvemos o sistema substituindo x por 3y em uma das equações. Por isso esse método de resolução é chamado método da substituição.
Método da adição
Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos.
Observe que o ponto verde do gráfico, representa a intersecção das duas retas, é a solução do sistema.
Classificação de um sistema linear
Sistema possível e determinado (SPD)
Observe a solução do sistema:
Resolvendo o sistema pelo método da substituição, obtemos: x= 10 e y= 15, logo o sistema é possível e determinado, pois a única solução é o par ordenado (10, 15).
Sistema possível e indeterminado (SPI)
Este tipo de sistema possui infinitas soluções, os valores de x e y podem assumir vários valores. No exemplo acima, x e y podem inúmeros valores, como (0,8), (1,7), (2, 6), (3,5), etc.
Sistema impossível (SI)
Ao resolvermos o sistema à seguir não encontramos solução para o sistema.
Escalonamento
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Tornar o coeficiente de x, na1ª equação, igual a 1.Como o coeficiente de x, já é 1, logo:
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Anular os coeficientes de x da 2ª e 3ª equações.X + 2y + z = 9 (-2), logo: -2x – 4y – 2z = – 18 => somamos este resultado à 2ª:
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Tornar o coeficiente de y, na 2ª equação, igual a 1.Então, sendo a 2: -3y – 3z = -15, para tornar o coeficiente de y igual a 1, pois nesta caso o coeficiente é 3, portanto, dividimos toda equação por (-3). Logo temos: y + z = 5, então, reescrevemos o sistema:x + 2y + z = 9y + z = 5-7y – 5z = – 31
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Anular o coeficiente de y, na 3ª equação.Para isso, convenientemente, multiplicamos a 2ª equação por (7) e obtemos:7y + 7z = 35, que somamos à 3ª:-7y – 5z = – 31, cuja soma resulta em: 2z = 4. Logo, reescrevemos o sistema, agora escalonado:x + 2y + z = 9y + z = 52z= 4
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A partir da última equação obtemos o valor de z e, substituindo esse valor na segunda equação, obtemos y e, finalmente, com os valores de z e y, tiramos o valor de x na primeira equação, assim:2z = 4 => z = 2y + 2 = 5 => y = 3 ex + 2.3 + 2 = 9 => x + 6 + 2 = 9 => x = 9 -8 => x = 1S = {(1, 3, 2)}Resumo:Tornar o coeficiente de x, na1 equação, igual a 1.Anular os coeficientes de x da 2 e 3 equações.Tornar o coeficiente de y, na 2ª equação, igual a 1.Anular o coeficiente de y, na 3ª equação.