Semelhança de triângulos

Para determinar a medida de um lago, foi utilizado o esquema representado pela figura abaixo. Qual é a largura do lago?

Observe que o segmento AB, divide o triângulo CPD em dois, logo o triângulo CPD é semelhante ao triângulo APB, então:

Logo, a largura do lago é igual à 250 metros.

Semelhança de triângulos

     Dois triângulos são semelhantes se, e somente se,  os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.

     A razão entre os lados correspondentes é chamada de razão de semelhança.

  Propriedades da semelhança

Propriedade reflexiva
     Todo triângulo é semelhante a si mesmo.
                            ∆ABC ~ ∆ABC
Propriedade simétrica
     Se um triângulo é semelhante a outro, então esse outro é semelhante ao primeiro.
                           ∆ABC ~ ∆XYZ ⇒∆XYZ~ ∆ABC
Propriedade transitiva
     Se um triângulo é semelhante a outro e esse outro é semelhante a um terceiro triângulo, então o primeiro é semelhante ao terceiro.
                           ∆ABC ~ ∆XYZ e ∆XYZ~ ∆RST ⇒ ∆ABC ~ ∆RST

Medindo objetos através da semelhança de triângulos

Propriedade fundamental da semelhança
Movimente os vértices  e observe o efeito.

Enunciado: “Se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo, então  ele é paralelo ao terceiro lado e tem metade do comprimento do terceiro lado.”

  

Teorema fundamental da semelhança de triângulos

     Toda reta que é paralela a um lado de um triângulo e intercepta os outros dois lados em dois pontos distintos determina com esses lados um segundo triângulo semelhante ao primeiro.