Equações do 2º grau

     Existem vários caminhos para a resolução de uma equação do 2º grau, como:

• Método geométrico do completamento de quadrados.
• Método pela utilização pela fórmula de resolução da equação do 2º grau.
• Resolução de uma equação por meio das relações entre os coeficientes e as raízes.
• Resolução de equações escritas na forma fatorada.

Resolução de uma equação do 2º grau pelo método geométrico do completamento de um quadrado.

     Observe os passos para a resolução, por esse método, da equação x² + 12x – 85= 0.

     x² + 12x___ = 85___ (Observe a seguir que transformamos a expressão x² + 12x, em um quadrado perfeito com a adição de 6²)
     x² + 12x + 6² = 85 + 6²
     (x + 6)² = 121

     x + 6 =  ±√121

     x + 6 = ±11

     x = -6 + 11 = 5  ou  x= -6 – 11 = – 17

Então por ser negativa desprezamos a raiz -17.

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Trinômios quadrados perfeitos e equações do 2º grau
Dada à equação: 9x² – 6x + 1 = 6
Como 9x² – 6x +1 é um trinômio quadrado perfeito, podemos fatorá-lo e reescrever a equação:
(3x² – 1)² = 6, temos que:

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A área da figura, formada por 5 quadrados, é 20. Quanto mede o lado de cada quadrado?

     Resolução: Lembremos que podemos nomear a área de cada quadrado por x², e como temos 5 quadrados, escrevemos 5x², cuja área total da figura é de 20 m², logo: 5x² = 20

     Então, o lado de cada quadrado mede 2 unidades de medida. (desprezamos o -2, por tratarmos da medida do lado de uma figura geométrica plana).

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     Pensei em um número. Elevei-o ao quadrado e somei ao próprio número. Obtive o triplo do número inicial. Em que número pensei?

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     Método pela utilização pela fórmula de resolução da equação do 2º grau.

Em torno de uma quadra de futebol de salão, de comprimento 15 m e largura  8 m, deseja-se deixar uma faixa de largura constante.

     A área da quadra, com a faixa, deve ser 198 m². Qual deve ser a largura da faixa?

      Se x representa a largura da faixa em metros, a quadra com a faixa é um retângulo de dimensões
15 + 2x e 8 + 2x metros. Então, para determinar a área do retângulo, devemos multiplicar o comprimento pela largura : (15 + 2x)(8 + 2x) = 198, logo temos: 2x² + 23x – 39 = 0.
     Do resultado desta multiplicação, temos uma equação nomeada do 2º grau.
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     Uma equação do 2° grau pode ser colocada na forma ax² +bx + c = 0, onde a, b, c ∈ R e a ≠ 0.

     Da equação 2x² + 23x – 39 = 0, os coeficientes numéricos são:
     a= +2, b= +23 e c= -39 

     Resolver uma equação significa encontrar suas raízes (ou soluções).
     Um número é raiz de uma equação quando, colocado em lugar da incógnita, a equação se transforma numa sentença verdadeira.

      Uma equação será incompleta, quando os coeficientes b e c, forem iguais a zero.
      Por exemplo, da equação do problema acima, se b fosse igual a zero, a equação seria escrita na forma: 2x² + 0.x – 39 = 0 => 2x² – 39 = 0
     Se a mesma equação tivesse o coeficiente c=0, escreveríamos: 2x² + 23x + 0 = 0 => 2x² + 23x=0
     Podemos resolver uma equação do 2º grau através da aplicação da “fórmula de Bháskara”:

Resolução de uma equação por meio das relações entre os coeficientes e as raízes

     Uma equação do 2º grau, com a incógnita x, pode ser expressa em função da soma S e do produto P de suas raízes: x² – Sx + P = 0

Exemplo:

     Resolver a equação: x² -5x + 6 = 0

Temos: S = 5 => x’ + x” = 5

            P = 6 => x’  .  x” = 6

Procurando pelo cálculo mental, dois números cuja soma seja 5 e cujo produto seja 6, temos: x’=2 e x”= 3, pois: 2 + 3 = 5  e  2 . 3 = 6.

Aplicação em vídeo de uma equação do 2º grau

                           

Simplificação de equações do 2º grau

     Em algumas situações, antes de obter as raízes das equações, é necessário simplificá-las.

Exemplo de simplificação de equação do 2º grau:

2(5x – 10) + 5x² = 3x² + 2x + 22

10x – 20 + 5x² = 3x² + 2x + 22

5x² – 3x² + 10x – 2x – 20 – 22 = 0

2x² + 8x – 42 = 0 —> equação na forma reduzida.