Elementos fundamentais da geometria

     O ponto, a reta e o plano, são os elementos fundamentais da geometria, entidades que não apresentam definição.
     O Ponto
     Não tem altura, comprimento ou largura, não tem dimensões. O ponto é representado por uma letra maiúscula de nosso alfabeto.
     A reta
     É formada pela sucessão de pontos e tem uma única dimensão, que pode ser o comprimento, a largura ou a altura, é considerada unidimensional. A reta é representada por uma letra minúscula de nosso alfabeto.
     O plano
     É o conjunto formado por infinito pontos e infinitas retas, é representada por uma letra minúscula do alfabeto grego, como por exemplo α (alfa) ou (beta) β.

Ângulos no círculo

Ângulo inscrito: é o ângulo que tem o vértice na circunferência e seus lados são retas secantes a ela.
Ângulo central: é o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência.

Resolvendo o  sistema:

Observe que a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.

     Outra relação interessante:
     Considerando o centro da circunferência no interior do ângulo inscrito.

     A medida do ângulo inscrito CBF é (α+β) e a medida do ângulo central CÂF é (2α+2β); logo a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.
Conclusão: Ângulos inscritos correspondentes ao mesmo arco, são todos congruentes, isto é, todos medem a metade do ângulo central.

Posições relativas entre uma reta e uma circunferência

Reta externa: a distância da reta externa é maior que o raio, com relação ao centro da circunferência.
Reta secante: a distância da reta secante é menor que o raio, com relação ao centro da circunferência.
Reta tangente: a distância da reta tangente é igual ao raio; a reta é perpendicular ao segmento determinado pelo centro e o ponto de tangência.
Observe que os segmentos OMova, OM e OMova, respectivamente, representam as distâncias dos centros às retas.

Circunferências em posições relativas

Na sequência conforme as posições entre duas circunferências, temos:
Circunferências externas. tangentes, secantes, internas e concêntricas.

Estudo dos ângulos I

Classificação dos ângulos
Ângulo reto: é todo ângulo cuja abertura é igual a 90º.
Ângulo agudo: é todo ângulo cuja abertura é menor que 90º.
Ângulo raso: é todo ângulo cuja abertura, for igual a medida de dois ângulos retos.
Ângulo obtuso: é todo ângulo cuja medida é maior que 90º e menor que 180º.
Ângulo O.P.V.: ângulos opostos pelo vértice (O.P.V.), são ângulos que são formados pela mesma reta mas não são adjacentes. Dois ângulos opostos pelo vértice, são congruentes.
Ângulo completo: são àqueles cuja volta é completa, igual a 360º.

Densidade demográfica

     Densidade demográfica ou população relativa é a razão entre o número de habitantes dessa localidade e a sua área em quilômetros quadrados.
     Exemplo:
     Calcule a densidade demográfica (Dd) do município de Porto Alegre (RS).
     – População em 2011(IBGE): 1.409.351 hab.
     – Área territorial: 497 km²

A densidade demográfica de Porto Alegre (RS) é aproximadamente 2,9 hab/km².

Fonte: Googlemaps

Velocidade média

     A velocidade média é uma razão que compara as grandezas distância e tempo. A velocidade média de um carro em certo percurso, por exemplo, é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto nesse percurso.

Exemplo:
     Calcule a velocidade média (Vm) de um carro que percorreu 300 km em 4h.
     – Distância percorrida (d): 300 km
     – Tempo (t): 4h
                                                 Vm = d : t = 300 : 4 = 75 km/h
     Observe que, no percurso, a velocidade do carro pode ter variado, mas na média a velocidade foi 75 km/h.

O grau

     Para termos ideia da medida de um grau, podemos imaginar um círculo dividido em 360 partes iguais. Um grau corresponde a cada uma dessas partes e indicamos por 1º. Se considerarmos uma volta completa, temos um ângulo de 360°.

Subdivisões do grau

     As subdivisões do grau são o minuto e o segundo. Um grau corresponde a 60 minutos (60′) e 1 minuto, a 60 segundos (60″).

Teorema fundamental da aritmética

     O teorema fundamental da aritmética diz que todos os números pertencentes ao conjunto dos inteiros, maiores que 1, podem ser decompostos em produto de números primos.
Exemplo:
30 = 3 x 5 x 2
169 = 13 x 13
144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3

Trigonometria na circunferência

Seno e cosseno de um arco trigonométrico
     Chama-se seno do arco trigonométrico AM de medida alfa à ordenada de M.
     Chama-se cosseno do arco trigonométrico AM de medida alfa à abcissa de M.
Mova o ponto M.

Funções trigonométricas
Função cosseno
Função seno
Função tangente 
O círculo trigonométrico