Raízes de uma equação do 2º grau

RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
     Uma empresa precisa criar uma nova embalagem para um cereal. O formato escolhido foi o de um bloco retangular. A frente da embalagem deve ter 24 cm², para a marca do produto ficar bem evidente. As faces laterais devem ser quadradas. A  soma do comprimento da face frontal com o da face lateral deve ser  10 cm. A empresa obteve duas embalagens que obedecem  a essas condições.
Qual embalagem você escolheria?

Vamos calcular as dimensões dessas embalagens, pelo esquema abaixo:

A equação que relaciona essas medidas é: (10  –  x) . x = 24 => 10x – x² = 24 => x² – 10x + 24 = 0
Resolvendo pela chamada equação quadrática:

a = 1

b = -10

c = 24

Como a equação tem duas soluções, para cada valor de x há uma embalagem correspondente.

As soluções de uma equação são também chamadas raízes dessa equação.

Raízes de uma equação

     Um número é raiz (ou solução) de uma equação quando, colocado no lugar da incógnita, transforma a equação em sentença verdadeira.

     São os elementos do conjunto verdade de uma equação, ou são os resultados que encontramos ao resolvermos uma equação, seja ela de qualquer grau. Por exemplo:
    – em uma equação do 1º grau com uma variável, podemos encontrar uma raízes:
                                                        x-2 = 0 
                                                        x – 2 + 2 = 0 + 2
                                                        x = 2

Gráfico: x – 2 = 0

     – em uma equação do 2º grau, podemos encontrar duas raízes:

                                                         2x² + x = 0

                                                         x (2x + 1) = 0

                                                         x = 0

                                                         2x + 1 = 0

                                                         2x + 1 – 1 = 0 – 1

                                                         2x = -1

                                                         x = – 1/2

Discriminante
     É denominado discriminante o radical b² – 4 . a . c que é representado pela letra grega delta (Δ), isto é:
Δ = b² – 4 . a . c
    Visto isso, podemos escrever a fórmula de Bhaskara da seguinte maneira:

    Número de raízes reais
     Dada uma equação na forma ax² + bx + c = 0, existirão três casos a serem considerados para a obtenção do número de raízes, que dependerão do resultado do cálculo do discriminante (Δ) da equação, conforme tabela à seguir:

Relação entre os coeficientes e as raízes de uma equação do 2º grau

     As raízes reais de uma equação do 2º grau são determinadas por: